Sur l'algèbre ordinaire

Prenons l’exemple de l’addition des nombres négatifs. L’élève apprend qu’en mathématique deux moins donnent un plus. On ne peut blâmer l’incrédulité de l’élève. Il sait qu’il a besoin de bottes pour passer l’hiver et qu’en-dessous reste toujours en dessous de zéro. S’il fait moins cinq à midi et que le soir moins vingt degrés s’y ajoutent, il fera moins vingt-cinq.

L’enseignement des mathématiques, André Savard, 11 septembre 2007

Je ne m'en prendrai pas au fond du texte de M. Savard, qui souligne de bons points, seulement une clarification.

On dit que moins un moins donne plus:

x - -y = x + y

mais c'est un raccourci. La négation n'est pas une opération algébrique, et on devrait écrire: x + l'inverse additif de l'inverse additif de y, ou:

x + -(-y)

Dans le contexte numérique, l'inverse additif d'un nombre y est le nombre y' tel que

y + y' = y' + y = 0

0 étant l'élément neutre de cette opération algébrique nommée addition. Il est facile de démontrer l'unicité de l'inverse additif, et de là, que l'inverse additif de l'inverse additif de y est y.